Problème de cauchy exemple

Dans une certaine région des variables, il est nécessaire de trouver une solution satisfaisant les conditions initiales, i. Si une transformation de coordonnée non singulière ”redresse” la surface dans un voisinage de, i. Par exemple, si $S $ est une surface semblable à un espace, le problème Cauchy (avec les données initiales sur $S $) est toujours bien posé. Les problèmes Cauculents sont généralement étudiés lorsque le porteur des données initiales est une surface non-caractéristique, i. Ces résultats portent sur le cas plus général dans lequel le porteur des données Cauchy est une surface de type spatial, i. Un des problèmes fondamentaux dans la théorie des équations différentielles (ordinaires et partielles): trouver une solution (intégrale) d`une équation différentielle satisfaisant à ce que l`on appelle les conditions initiales (données initiales). La formulation du problème Cauchy pour les équations différentielles non linéaires est similaire. Le problème Cauchy est celui d`une surface non-caractéristique. Il existe une large classe d`équations et de systèmes hyperboliques pour lesquels on peut prendre une surface caractéristique comme surface initiale.

Si la surface caractéristique $S $ est en même temps une surface de type dégénéré ou d`ordre, le problème de Cauchy caractéristique peut se révéler bien posé. Si est une surface analytique dans un voisinage d`un de ses points, si les fonctions, et,, sont analytiques dans le même voisinage, et si d`ailleurs la condition (5) est satisfaite, alors le problème Cauchy (3), (4) a une solution analytique dans un voisinage du point; Cette solution est unique dans la classe des fonctions analytiques. Secte. Les problèmes de cause diffèrent des problèmes de valeur limite en ce sens que le domaine dans lequel la solution souhaitée doit être définie n`est pas spécifié à l`avance. Les équations hyperboliques constituent une large classe d`équations pour lesquelles le problème Cauchy est bien posé. La solution n`a pas besoin d`exister à tous les points dans le domaine de la définition de. Ai-je fait averything correctement jusqu`à ce point? Laissez le domaine $ Omega $ être un de ces angles. Quoi qu`il en soit, je pense que la séparation des variables est la meilleure façon de le résoudre (cela devrait être la même chose que vous avez essayé, je suppose:D): $ $y` = (y + 1) x $ $ $ $ frac{y`} {y + 1} = x $ $ et formellement, $ $ frac{dy}{y + 1} = x DX L`intégration vous obtenez $ $ ln (1 + y) = frac{x ^ 2} {2} + c, $ $ par conséquent, $ $1 + y = e ^ {ln (1 + y)} = e ^ {frac{x ^ 2} {2}} e ^ {c}.

Secte. Le problème Cauculé peut être formulé comme suit: trouver une solution $u (x, t) $ de l`équation eqref{1} qui est régulière dans le cône eqref{2} et prend les valeurs prescrites sur le cône eqref{2}. Vous devez utiliser l`état de la Cauchy pour trouver la solution de l`équation (si $x = $1 puis $y = $2): $ $2 = e ^ {frac{1}{2}} cdot e ^ c-1 Longrightarrow e ^ c = 3e ^ {-frac{1}{2}}. Dans ce cas, le problème Cauchy est de nature globale, mais la condition qui n`est pas caractéristique n`est plus suffisante. Le théorème est de nature universelle, car il est applicable aux équations analytiques indépendamment de leur type (elliptiques, hyperboliques, etc. Le porteur des conditions initiales est, alors que la valeur de la fonction, son dérivé normal (dans le cas des équations du second ordre), ou plus des conditions de valeur limite générale, sont donnés sur la surface latérale du cylindre. Il est pratique moderne de définir l`hyperbolicité d`un opérateur différentiel partiel comme condition nécessaire pour le bien-être du problème Cauchy, voir [a2], vol. La première proposition concernant l`existence d`une telle fonction (sur l`hypothèse qui est continue pour tous et continuellement différable par rapport à) a été prouvée par A.